RADICIAÇÃO

A radiciação é a operação inversa da exponenciação

Esta imagem representa a raiz cúbica de oito. A expressão matemática  é um radical, ela é composta pelo número 3 que é o índice da raiz, pelo símbolo da radiciação e pelo número 8 que é o seu radicando.

Mas o que significa a raiz cúbica de oito?

Quando estudamos a potenciação, vimos que 2³ é igual a 2 ^. 2 ^. 2 que é igual a 8. Partimos do número 2 e através de uma multiplicação de 3 fatores iguais a 2, chegamos ao número 8. Agora temos o caminho inverso, a raiz cúbica de oito é a operação que nos aponta qual é número que elevado a 3 é igual a 8, ou seja, é a operação inversa da potenciação.

Raízes de Radicando Racional com Índice Não Nulo

A raiz enésima de “a” é igual a “b”, se e somente se “b” elevado a enésima potência for igual a “a”.

Não Existe a Raiz de um Radicando Negativo e Índice Par

Por quê?

Vamos tomar como exemplo a raiz quadrada de menos 16 expressa por .   

Segundo a definição temos:

Qual é o valor numérico que b deve assumir para que multiplicado por ele mesmo seja igual a -16?

 

Multiplicarmos dois números, diferentes de zero, com o mesmo sinal, o resultado sempre será positivo, então não existe um número, como sabemos na multiplicação de números racionais ao conjunto dos números racionais que multiplicado por ele mesmo dará um valor negativo, pois o sinal é o mesmo em ambos os fatores da multiplicação.

A Raiz de um Radicando Negativo e Índice Ímpar é Negativa

Em uma multiplicação se todos os sinais forem positivos, obviamente o produto final também será positivo, já se tivermos fatores negativos, se estes forem em quantidade par o resultado será positivo, se forem em quantidade ímpar o resultado será negativo. É evidente que nenhum dos fatores pode ser igual a zero. Então a raiz enésima de a, um número rqcional negativo será negativa se o índice for ímpar. Se for par como vimos acima, não existirá.

Vamos analisar a raiz quinta de menos 32 que se expressa como

Como o expoente de b é ímpar, ou seja, o número de fatores que representa a potência é impar, para que o resultado seja -32, é preciso que b seja negativo. Então a raiz de um número negativo e índice ímpar sempre será um número negativo.

Neste exemplo -2 é o número negativo que elevado a 5 resulta em -32, logo:

Note que na potência colocamos o -2 entre parênteses, pois se não o fizéssemos, apenas o 2 estaria elevado à quinta potência. Como o expoente é ímpar, não faria diferença no resultado se não os tivéssemos utilizado, mas isto seria imprescindível se o expoente fosse um número par, para que não houvesse erro de sinal no resultado da potenciação.

A Raiz de um Radicando Positivo também é Positiva

Não importa se o índice é par ou impar, em não sendo nulo, a raiz de um radicando positivo também será positiva.

Já que n não pode ser zero, a partir desta propriedade concluímos que não existe raiz de índice zero. Se n fosse zero, o denominador da fração do expoente seria zero, que sabemos não ser permitido.