RAZÕES E PROPORÇÕES

RAZÃO:

Chama-se razão de um número racional para outro (diferente de zero), o quociente exato do primeiro pelo segundo.
Exemplo: A razão de 12 para 3 é igual a 4:  

12 / 3 = 4

Genericamente, a razão do número "a" para o número "b" (≠ 0) indica-se, como o quociente:

a / b



Lêem-se também como:

"razão de a e b "   e   "razão entre a e b"

A razão de um número racional para outro é sempre um número racional.

Os números racionais "a" e "b" são termos da razão; o primeiro , "a", é o antecedente e o segundo, "b", é o consequente.

Temos as seguintes condições:

1)  Se o antecedente for igual ao consequente, a razão é
     igual a 1.

     Exemplos: 

2)  Se o antecedente for menor que o consequente, a razão
     é menor que 1.

     Exemplos:

  

3)  Se o antecedente for maior que o consequente, a razão

     é maior que 1.

        Exemplos:

RAZÕES INVERSAS

Duas razões são inversas uma da outra se o seu produto é igual a 1.

O processo mais fácil de escrever a razão inversa de uma dada razão ( ≠ 0 ) é trocar entre si o antecedente com o consequente.
De maneira geral temos: dados "a" e "b", diferentes de zero, "a razão inversa de a/b é b/a; diz se que então que a/b é a razão direta.

RAZÕES IGUAIS

Duas razões são ditas iguais quando as frações que as representam são equivalentes.
De maneira geral temos: dados "a" e "b (diferente de zero)", "a razão equivalente de a/b é k*a/k*b, onde "k" é o fator multiplicativo.

PROPRIEDADES

1.) Multiplicando-se ou dividindo-se os dois termos de uma razão por um mesmo número (≠ 0 ), obtém-se uma razão igual à razão dada.

2.) Para a igualdade de razões valem, como para a igualdade de números racionais, as propriedades:

1. Reflexiva:   a / b = a / b    
2. Simétrica:   Se a / b = c / d, então a / d = a / b  
3. Transitiva:  Se a / b = c / d e c / d = m / n, então, a / b = m / n

PROPORÇÕES:

Diz-se que quatro números racionais diferentes de zero, em uma dada ordem, estão em proporção (ou formam uma proporção) quando a razão do 1.º para o 2.º é igual à razão do 3.º para o 4.º .

Os quatro números que formam a proporção chama-se termos da proporção.

O primeiro e o quarto termos chamam-se extremos; o segundo e o terceiro termos chamam-se meios.

extremos

┌────────┐

a  :  b  =  m  :  n

└───┘

meios

Proporção é uma igualdade de duas razões.

PROPORÇÕES CONTÍNUAS

São proporções que têm os meios iguais.

 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL

Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

a : b = c : d  →  a . d = b . c,   (a, b, c, d ≠ 0)

PROPRIEDADE RECÍPROCA

Se quatro números diferentes de zero, na ordem em que estão escritos, são tais que o produto do primeiro pelo quarto é igual ao produto do segundo pelo terceiro, então os quatro números, nessa ordem, formam um proporção.

a . d = b . c  →  a : b = c : d,  (a, b, c, d ≠ 0)

As duas implicações, a da propriedade fundamental e a da sua recíproca, podem ser reunidas numa só relação, obtendo-se assim a equivalência: 

a : b = c : d  ↔  a . d = b . c,  (a, b, c, d ≠ 0)

PROPRIEDADE DA ADIÇÃO
Em toda proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o primeiro (segundo) assim como a soma dos dois últimos está para o terceiro (quarto).





PROPRIEDADE DA SUBTRAÇÃO

Em toda proporção em que, para cada razão, o antecedente é maior que o consequente, a diferença entre o primeiro e o segundo termo está para o primeiro (segundo) assim como a diferença entre o terceiro e o quarto está para o terceiro (quarto).

PROPRIEDADE DA ADIÇÃO DOS ANTECEDENTES E DOS CONSEQUENTES
Em  toda proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes assim como cada antecedente está para o seu consequente.

PROPRIEDADE DA MULTIPLICAÇÃO
Multiplicando-se membro a membro duas ou mais proporções, obtém-se ainda uma proporção.

PROPRIEDADE DA POTENCIAÇÃO
Se quatro números estão em proporção, então estão também em proporção, na mesma ordem, os seus quadrados, os seus cubos, ...