Teorema de Pitágoras-Ex.Resolvidos-1

EX-01 (FUVEST - 2007)

O cubo de vértices ABCDEFGH, indicado na figura, tem arestas de comprimento a.  Sabendo-se que M é o ponto médio da aresta AE, então a distância do ponto M ao centro do quadrado ABCD é igual a:

Solução:

No triângulo retângulo da figura abaixo, aplicando Pitágoras, temos:

Resposta: a alternativa correta é (c).

EX-02 (UFSCAR - 2008)

A figura indica um paralelepípedo retângulo de dimensões √2 x √2 x √7, sendo A, B, C e D quatro de seus vértices.

A distância de B ao plano que contém A, D e C é igual a:

Solução:

Como os triângulos ABC, BCD e ACM são retângulos, por Pitágoras temos:

Portanto, o volume do tetraedro ABCD é:

Considerando d a distância de B até o plano ACD; e considerando o ∆ACD como base e d como a altura do tetraedro, o volume é o mesmo. (Cálculo do volume do mesmo tetraedro considerando parâmetros diferentes).

Portanto,

Comparando as duas expressões do volume do tetraedro ABCD, temos:

Resposta: Alternativa correta é: b

EX-03

Na figura abaixo calcule os valores de d e D em função de a, b e c.

Solução:

Na figura podemos observar as seguintes situações:

1) O segmento D é a diagonal do paralelepípedo cujos lados são a, b e c.

2) O segmento d é a diagonal do retângulo (=base do paralelepípedo) cujos lados são a e b.

3) Podemos observar dois triângulos retângulos (pintados de azul e lilás) conforme a figura a seguir:

Dessa figura observa-se que o segmento d (diagonal da base do paralelepípedo) é comum a um dos catetos do triângulo azul.

Assim podemos escrever as seguintes expressões com aplicação de teorema de Pitágoras:

Calculando o valor da diagonal d:

De (I), temos:

Calculando o valor da diagonal D:

(I) em (II), temos:

EX-04

Calcule a altura H do tetraedro regular de aresta a.

Solução:

Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo ∆ABM₁, temos:

Logo,

 

Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo ∆BDG, temos:

EX-05

Calcule a altura H do pentaedro regular de aresta a.

Solução:

A altura H é o cateto do triângulo BEO, retângulo em O.

1) Calcular o valor do segmento OB (cateto do ∆BEO):

O triângulo ∆ABD é retângulo em A, portanto, temos:

2) Calcular o valor da altura H:

O triângulo ∆BEO é retângulo em O, portanto, temos:

EX-06

Uma empresa produz dados com 4 faces em forma de tetraedro regular. Os dados são feitos de acrílico e sua aresta mede √3 cm. O volume de acrílico utilizado para fabricar 5000 dados é:

a) 1200√6 cm³

b) 1250√6 cm³

c) 1300√6 cm³

d) 1350√6 cm³

e) 1400√6 cm³

Solução:

Sabendo-se que:

Então,

O volume do tetraedro é um terço do produto da área da base pela altura h.

O volume de acrílico necessário para fabricar 5000 dados é:

Resposta: alternativa b

EX-07 (FUVEST/ENEM)

Os vértices de um tetraedro regular são também vértices de um cubo de aresta 2. A área de uma face desse tetraedro é:

a) 2√3

b) 4

c) 3√2

d) 3√3

e) 6

Solução:

As arestas do tetraedro ACHF são as diagonais da face do cubo, então:

A área de uma face desse tetraedro é igual à do triângulo equilátero de lado 2√2.  Então.

Logo, temos:

Resposta: alternativa a